参数估计

期望和方差

期望计算公式
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方差计算公式 image.png

点估计

初衷：由于无法用无穷的点来算（积分），因此采用有限的点来进行估计

使用最大似然法，构造极大似然函数
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通过解方程，使得解满足极大似然函数值达到最大，有
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该结果是极大似然函数的点估计

  • 无偏性，点估计的期望与n无关，因此对点估计的方差进行校正
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  • 有效性：方差小的估计量有效

区间估计

$\hat{X}$作为μ的估计值，同时具有无偏性、有效性和充分性， 但是随机变量 不可能恰好落在μ上，点估计有不足之处。 但是可以用一个区间去包含μ

  • 已知多个点对均值的区间估计
    公式
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    t根据$\alpha,f$查表，$\sigma$标准差，平均平方和开根号，$n$样本量
    例题
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样本容量确定（均值估计样本量）

解决的问题：多少样本才是对分析最佳的？

  • 样本量过大，虽然可以提高统计推断精度，但是成 本随之增加；
  • 样本量过小，会使统计推断误差过大；

公式推导：
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例题 image.pngimage.png
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表：
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例题解析：

  • 例题1
    根据公式，均值方差给定，d=均值x允许误差（10%），$\alpha=0.95,\alpha/2=0.975$
    这个实际原理是：
    当我们谈论95%的置信区间时，我们通常是在讨论中心的95%，这将留下2.5%在每侧的尾部。因此，为了找到与上侧2.5%相对应的Z分数，我们需要找到表中累积到0.9750（因为 0.5 + 0.475 = 0.975）的值，这意味着中心到Z分数点的面积占总面积的97.5%。
    找点：
    找表格中累计达到0.975的点，找到横坐标1.9，纵坐标.06，因此z为1.96

  • 例题2
    同理，得出$\alpha=0.99,\alpha/2=0.995$，读表找出对应的横坐标2.5，纵坐标.08，因此z为2.58

样本总量确定（总体比例估计样本量）

已知次品率，求总体n，未知次品率的情况下，p=0.5保证结果可靠性（图例题二）
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例题1
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解析 ：

  • 代入次品率p，d为误差控制，置信度查表0.025表示表格中到达0.975的值

例题2
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解析：

  • 为保证结果可靠性，取p=0.5，同理计算即可

统计检验

原理

  • 此矛盾是从实际推断和原理的矛盾，即“小概率事件在 一次实验中几乎不可能发生”
  • 若在一次实验中发生了小概率事件，则拒绝原假设，否 则接受假设

步骤：
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数据分布检验

偏度峰度检验

若总体为正态分布，随机抽取样本研究， 偏度g1和峰度g2都服从正态分布
计算公式 ：
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例题：
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注意$\alpha/4$，多个检验统计量的时候就要多除一个
例题解析 ：
按照计算公式，先计算出$g_1$和$g_2$，然后代入$u_i=u(g_i,n)$进行计算，通过比较检验临界值得出结论

K-S分布检验

用于检验检验一组样本数据 的实际分布是否与某一指定的理论分布相符合。简单来说就是能否用正态分布函数来拟合这组样本量，通过构造假设统计量检查最大的误差，来进行假设验证
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例题
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例题解析 ：

  • 计算样本均值和方差 
    u = 4.8525
# 计算方差
s = ((4-4.8525)**2 *20 +(4.5-4.8525)**2 *372 +(5-4.8525)**2*498+(5.5-4.8525)**2 * 103+(6-4.8525)**2*7)/999** 0.5
0.3521274627176926
  • 作为正态分布u和s的假设，
    • H0：样本服从均值=4.85，标准差=0.352的正态分布 •
    • H1：样本不服从均值=4.85，标准差=0.352的正态分布
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      每一列解析（第二行为例）代入4.25和4.75，得出在对应的标准化正态分布中的实际分布区间；查表得该区间的概率（$X_{-0.28}-X_{-1.70}$，注由于对称性，表中只有正值，相应变换一下即可，另外表中给的也是累计概率分布$F(x)$），得出累计概率（与前面的累加），实际的累计工人以及累计频率，相减

得出最大概率-频率区间（这个就是$D_n$）
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最后计算实际的临界值（根据n和$\alpha$查表即可），然后看看接受还是拒绝解设

卡方拟合优度检验 （可能考）

检验抽取样本的总体分布与某种 特定分布的符合程度
具体步骤
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卡方计算公式
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例题：
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解析：

  • 区间划分
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  • 计算相应的理论分布
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    先计算均值和标准差。然后与上一节[[#K-S分布检验]]相同，计算正态分布下的对应理论频率分布，以第一行为例，可以算得(129.5-143.8)/6=-2.3833333，查表得
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    因此为0.0087。后面代入公式计算得到卡方和即可。检验 量计算方式为：
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    其中0.1为置信水平，k=划分的区间数，r为参数估计数量（正态分布为2），查表

例题2
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用上面的方法也能做[[#假设检验]]，但是理论上这种方法好一点。
本质上就是划分为良品和不合格品两个区间，然后相应的计算就行。

列联表

表示形式为
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记住计算公式
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边界值为X((r-1)(c-1))

例题 ：
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直接代入公式计算就行：
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离群值检验

相关应用——异常数据的取舍

四种方法

拉依达准则（3σ准则）

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简单算一下就行了

肖维特(Chauvent)准则

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格拉布斯(Grubbs)准则——兼顾了置信概率(可能考)

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比上面那个多了个置信概率
例题
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主要是方差计算公式，这个是样本方差要n-1
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其他的都是按步骤来就行
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剔除之后再算一遍

狄克逊准则——通过极差比判定剔除异常数据

异常数据应该是最大数据和最小数据，因此 其基本方法是将数据按大小排队，检验最大数据和最小 数据是否异常数据

方差比较检验

需要区别单方差检验与多方差检验
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其中S为样本标准差，$\sigma$为总体标准差

单方差检验例题
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代入数据就行 ，注意卡方是n-1

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注意是F(m-1,n-1)

(0.07**2+0.01**2+0.08**2+0.03**2+0.05**2)/4=0.0037

计算F以及临界值比较

均值检验

分

μ检验(方差已知)

计算公式
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例题
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其中μ就是正态分布的分布表的值

t检验(方差未知)

单分布计算公式
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s是样本标准差

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双分布计算公式
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例题
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解析：配对的情况

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非配对情况

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方差分析

方差分析概述

单因素方差分析

计算公式
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例题：
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计算：
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解析：根据公式来就行，SSE组内的方差的和，SSA组间（和总体的均值）的和

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例题2
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计算SSA和SSE
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无重复双因素方差分析

其实一样的，就是每列如果也是有参数影响的话，每列再算一个MSB

例题：

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例题 2
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有重复双因素方差分析

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